Proiezioni ortogonali di figure piane

I seguenti disegni sono sempre ricavati da script GDL, che permettono di variare i parametri a partire da un unico oggetto. In questo caso, nonostante le apparenze, si é sfruttato soltanto lo script 2D. Questo, nelle trasformazioni, non prevede l’inclinazione, ma solo rotazioni e allungamenti degli assi. Pertanto ho dovuto elaborare una formula un po’ complessa per ottenere dalle combinazioni di questi due comandi pure l’inclinazione:

!Inclinazione e contrazione asse x:

be= !rotazione oraria dell’asse x:
!be compreso (valori esclusi) tra 0 (non ruotata) e 90 (coincide con y-)
a= !allungamento asse x

al=acs(sqr(tan(be)^2/(4+tan(be)^2)))/2

rot2 al-90
mul2 1/tan(al),tan(al)
rot2 al
mul2 a,1
!inserire oggetto da inclinare
del 4

La formula equivale alla trasformazione:
xx=a*x
yy=y-a*x*sin(be)

Nota: la formula é valida per angoli >0 e <90

!Inclinazione e contrazione asse y:

be= !rotazione oraria dell’asse y:
!be compreso (valori esclusi) tra 0 (non ruotata) e 90 (coincide con x+)
a= !allungamento asse y

al=acs(sqr(tan(be)^2/(4+tan(be)^2)))/2

rot2 al-90
mul2 tan(al),1/tan(al)
rot2 al
mul2 a,1
!inserire oggetto da inclinare
del 4

La formula equivale alla trasformazione:
xx=x+a*y*sin(be)
yy=a*y

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Variazione assi (distorsione)

Siano ax,ay e bx,by
le coordinate dei nuovi assi di riferimento a,b.
La trasformazione dal vecchio al nuovo sistema:
xx=x*ax+y*bx
yy=x*ay+y*by

Esempio: rotazione di an:
ax= cos(an)
ay= sin(an) !nuova posizione asse x

bx=-sin(an)
by= cos(an) !nuova posizione asse y

xx=x*cos(an)-y*sin(an)
yy=x*sin(an)+y*cos(an)

In coordinate polari:

mx=sqr(ax^2+ay^2)
anx=acs(ax/mx)*sgn(ay)+360*( sgn(-ay)+abs(sgn(-ay)) )/2
my=sqr(bx^2+by^2)
any=acs(bx/my)*sgn(by)+360*( sgn(-by)+abs(sgn(-by)) )/2

ax=mx*cos(anx)
ay=mx*sin(anx)
bx=my*cos(any)
by=my*sin(any)

!Formula indiretta
!anx>0, 360>any>anx, any-anx non multiplo di 90

anx= !anomalia asse x
mx= !coordinate polari nuova posizione asse x
any= !anomalia asse y
my= !coordinate polari nuova posizione asse y

rot2 anx
ayx=any-anx
al=acs(sqr(1/tan(ayx)^2/(4+1/tan(ayx)^2)))/2

if ayx>0 and ayx<90 then mul2 1, 1
if ayx>90 and ayx<180 then mul2 -1, 1
if ayx>180 and ayx<270 then mul2 -1,-1
if ayx>270 and ayx<360 then mul2 1,-1

rot2 al-90
mul2 tan(al),1/tan(al)
rot2 al
if ayx>0 and ayx<90 then mul2 mx, my*sin(ayx)
if ayx>90 and ayx<180 then mul2 -mx, my*sin(ayx)
if ayx>180 and ayx<270 then mul2 -mx,-my*sin(ayx)
if ayx>270 and ayx<360 then mul2 mx,-my*sin(ayx)
! inserire oggetto da deformare secondo nuovi assi
del 6

!!!!!!!!!!!!Nuovi assi ortogonali:

!any-anx=90
rot2 anx
mul2 mx,my
! inserire oggetto da deformare secondo nuovi assi
del 2

!any-anx=270
rot2 anx
mul2 mx,-my
! inserire oggetto da deformare secondo nuovi assi
del 2

 

Cliccando sui link in azzurro si apre il PDF relativo sia alle proiezioni ortogonali che allo spaziale (isometrica, cavaliera e cavaliera con profondità dimezzate)

crf_par PL (1)    crf_par PL (2)    crf_par PL (3)    crf_par PL (4)

crf_par PO (1)    crf_par PO (2)    crf_par PO (3)    crf_par PO (4)

crf_par PV (1)    crf_par PV (2)    crf_par PV (3)    crf_par PV (4)

Dodecagono par PV (1)  Dodecagono par PV (2)  Dodecagono par PV (3)

ennagono par PL (1)                             ennagono par PL (2)

Esagono par PL (1) Esagono par PL (2) Esagono par PL (3) Esagono par PL (4)

Esagono par PL_ (1)         Esagono par PL_ (2)

Esagono par PV (1) Esagono par PV (2) Esagono par PV (3) Esagono par PV (4)

Esagono ruot_par PL

Esagono_par PL (1) Esagono_par PL (2) Esagono_par PL (3) Esagono_par PL (4)

Ottagono_par PV (1) Ottagono_par PV (2) Ottagono_par PV (3) Ottagono_par PV (4)

Pentagono par_PO (1)        Pentagono par_PO (2)

Pentagono par_PO (3)        Pentagono par_PO (4)

Quadrato par PV (1)            Quadrato par PV (2)

Quadrato par PV (3)           Quadrato par PV (4)

Quadrato par_PL (1)           Quadrato par_PL (2)

Quadrato par_PL (3)           Quadrato par_PL (4)

Rombo par_PL (1)           Rombo par_PL (2)           Rombo par_PL (3)

Triangolo ruotato par_PL (1)   Triangolo ruotato par_PL (2)   Triangolo ruotato par_PL (3)

Triangolo_par PL (1)            Triangolo_par PL (2)

Triangolo_par PL (3)            Triangolo_par PL (4)

Triangolo_par PV (1)                Triangolo_par PV (2)

Triangolo_par PV (3)                Triangolo_par PV (4)

Undecagono_par PL (1)   Undecagono_par PL (2)    Undecagono_par PL (3)

Pentagono_par PV (1)          Pentagono_par PV (2)

Pentagono_par PV (3)          Pentagono_par PV (4)

perspective spherique

Senza Titolo3

La perspective sphérique est un moyen de représenter sur une surface spherique un objet tel qu’il apparaît perçu d’un point de vue déterminé: le centre de la sphére dans le cas.

tav (59)tav (56)tav (52)

scacch. sottomoduli pr.stereo
Pour pouvoir représenter la perspective sphérique sur le plan, il faut la projeter par un point distincte du point de vue et situé sur la droite orthogonal à le plan de projection.

Sinon, vous pouvez utiliser les méthodes de cartographie.

img229

perspective conique

La perspective conique est un moyen de représenter sur une surface conique un objet tel qu’il apparaît perçu d’un point de vue qui appartient à l’axe du cône.

Senza Titolo2
La surface conique est ouvert sur le plan.

tav (48)img067

La perspective conique en trois dimensions est une déformation de l’espace, il ya de multiples façons de la construir.

454436 31

perspective cylindrique

Senza Titolo

tav (47) tav (45)

La perspective cylindrique est un moyen de représenter des objets en trois dimensions, tels que les bâtiments en figure, sur un cylindre, comme on les voit à partir d’un point de vue qui se trouve sur l’axe du cylindre lui-même.

La perspective cylindrique est construite suivant les règles suivantes: les verticales restent verticales, par contre les horizontales fuient vers deux points de fuite sous forme d’arcs de courbe sinusoïdale.

cilindro (2)ridotto

Mattamattica a fumetti

Ho pubblicato pure un libro a fumetti sulla matematica (“mattamattica”), ovvero sulla didattica di questa nel biennio ingegneristico che frequentai a Bologna sul finire degli anni settanta. Prima di cambiare completamente direzione (mi iscrissi a scenografia) volli dare l’addio a questo genere di studi con un fumetto, che ho ridisegnato recentemente a computer.

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Corso completo di MATTAMATTICA

Programmazione GDL e geometria analitica

I have published a new book, free as ebook.
The text deals with mathematically and analytic language GDL, exploited in Archicad to generate architectural components. This language requires expertise in the field of descriptive geometry and in specific programming. Its relative simplicity allows to investigate, experiment and test various topics in geometry, that go far beyond the mere construction of furniture elements. The text, therefore, is not intended as a simple user manual for the program, since the topics are of general character of geometrical research. The text deals with algebra, Vector calculus and its application to curves, in addition to dealing with prospective variables.

Ho pubblicato un nuovo libro, scaricabile a costo 0 come ebook

programmazione-gdl-e-geometria-analitica-9788893216197

Il testo affronta dal punto di vista matematico ed analitico il linguaggio GDL, sfruttato all’interno di Archicad per generare componenti architettoniche ed oggetti di arredo. Questo linguaggio richiede competenze più nel campo della geometria descrittiva che in quello specifico della programmazione. La sua relativa semplicità permette di indagare, sperimentare e verificare svariati argomenti di geometria, che vanno molto oltre la semplice costruzione di elementi di arredo. Il testo, pertanto, non si propone come un semplice manuale di utilizzo del programma, dato che gli argomenti trattati rivestono un carattere generale di ricerca nel campo geometrico. Vengono esposti gli elementi fondamentali dell’algebra, del calcolo vettoriale e la relativa applicazione alle curve, oltre alla trattazione delle variabili prospettiche.

Il seguente link permette di scaricare una copia in PDF a titolo esemplificativo, essendo state eliminate alcune pagine.

programmazione-gd_estratto

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scheda libro

I have a doubt: isn’t a no sense to study geometry on a personal level, regardless of whether the studies are included in an academic or institutional context ? It’s not that mathematics and geometry are today studied only to pass a college course, then are removed? I inserted this text as ebook at 0 cost for three reasons:

1. Archicad is used in the school where I teach, then GDL seems very interesting because parametric.

2. If none is interested at this book, I conclude that math and geometry are today studied only to pass a college course (the researches done outside the institutional track are ignored).

Mi permane un dubbio: gli studi di geometria effettuati a livello personale, indipendentemente dal fatto di essere inseriti in un contesto accademico od istituzionale, possono avere un senso? Non è che matematica e geometria vengono oggi studiati soltanto per superare un corso universitario, poi vengono rimossi? Ho inserito questo testo come ebook a costo 0 per tre motivi:

1. Diffondere il linguaggio GDL ( Archicad è utilizzato nella scuola dove insegno, ma ho pure comprato una vecchia versione tramite ebay), perchè mi sembra molto interessante proprio perché parametrico.

2. Verificare se matematica e geometria vengono oggi studiate soltanto per superare un corso universitario, per cui vengono ignorate le ricerche fatte al di fuori dei binari istituzionali (come accade un po’ per tutto).

 

La prospettiva e la costruzione dello spazio figurativo

cover

Questo testo, pubblicato nel 2014, descrive i metodi geometrici volti a realizzare prospettive, sia piane che curve, tentando di risolvere, in via analitica, la dialettica che storicamente ha contrapposto due tipi di prospettiva: quella lineare, riscoperta e sistematizzata nel Rinascimento, e quella curvilinea, legata all’ottica e al dato intuitivo. Vengono trattati in modo approfondito diverse tipologie prospettiche: piana, cilindrica, conica e sfericaDopo avere considerato le specificità relative ad ogni tipologia, si presentano le costruzioni necessarie per disegnare, con riga e compasso, le varie tipologie prospettiche ridotte sul piano: prospettive cilindrica e conica sviluppate, prospettiva ortografica, prospettiva stereografica e prospettiva sferica a distanza ravvicinata. Il testo è arricchito con tavole realizzate dall’autore e vengono fatti riferimenti alla tecnica fotografica.

Il seguente link permette di scaricare una copia in PDF a titolo esemplificativo, essendo state eliminate alcune pagine.

la-prospettiva-e-la-costruzione_estratto

Alcuni stores dove è possibile acquistare il libro:

http://it.nicebooks.com/ISBN/9788891130709

q1

q

Il testo è anche disponibile in e-book, formato PDF

http://www.bookrepublic.it/book/9788891154750-la-prospettiva-e-la-costruzione-dello-spazio-figurativo/

http://www.booksuniversity.it/autore-marco-masetti-168505.html

 

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Accludo pure un file PDF che mostra parte dell’ultimo capitolo, dove si elencano le formule matematiche utili per costruire con il calcolatore le diverse tipologie di prospettiva.

LA PROSPETTIVA (il link apre il documento PDF con le formule)

106 105 104 103 102 101 100 99 98

97

93 90 83 78 77

71

68 62 58 56 55 48 47 45 44 36 31

109 112 117 124 126 131 132 133 135 143 144 145 146 155 scacch. sottomoduli pr.stereo Senza Titolo Senza Titolo2 Senza Titolo3

129 b 130 b 131b

132 (2) 133 b 134 b

cilindro (2)ridottoimg067 img226 img229 img252

img256

img262 img281 Sangio sign Giulia

stereo (9)ridotta

tav (8) tav (9) tav (45) tav (47) tav (48) tav (50) tav (52) tav (56) tav (59) tav (66) tav (70)

tav (75)

PREFAZIONE

La prima parte e la seconda parte del volume sono ricavate dalla tesi di diploma in Scenografia che presentai nell’anno 1986 presso l’Accademia di Belle Arti di Bologna.   Questa tesi aveva come titolo:

La prospettiva e la costruzione dello spazio pittorico.  La tesi era composta di due tomi. Il primo, storico, presentava lo sviluppo della rappresentazione dello spazio dall’antichità al Rinascimento. L’altro tomo, di carattere strettamente geometrico, trattava sotto l’aspetto teorico e descrittivo diverse tipologie  di prospettiva: piana, cilindrica, conica e sferica.  Nella tesi veniva affrontata la dialettica tra due tipi di costruzioni:  quella lineare, riscoperta e sistematizzata nel Rinascimento, e quella curvilinea, legata all’ottica e al dato intuitivo. Mentre storicamente i due tipi di prospettiva, quella lineare e quella curva o sintetica, sono legati a fattori culturali diversi, dal punto di vista scientifico non c’è differenza sostanziale tra prospettive piane e curve. Si tratta di metodi diversificati per rappresentare lo spazio su un supporto bidimensionale, ma le premesse logiche sono le stesse. Anzi si può considerare la prospettiva piana come un caso particolare della costruzione sferica, che costituisce la tipologia più generale della prospettiva stessa.

Negli anni successivi al diploma in Scenografia, specialmente negli assolati ed afosi mesi estivi, libero da impegni, ho continuato a meditare sulla geometria e sulla prospettiva. Infatti sono riemersi in me quei concetti che mi instillò, in precedenza, l’emerito professore Bruno d’Amore, nel corso univeritario di geometria presso il biennio di ingegneria, che poi accantonai.

Non mi risulta che nei decenni trascorsi dall’elaborazione di questa mia tesi, siano stati pubblicati trattati esaurienti su questo argomento.  Attualmente, anzi, nell’insegnamento dei licei artistici, si sta trascurando anche lo studio della prospettiva comune, dato che a causa della recente riforma, le discipline geometriche si insegnano, per poche ore, soltanto nel biennio iniziale.

L’emerito professore Silvano Chinni, recentemente scomparso, uomo di grande finezza e sensibilità, di fronte a un lavoro così ponderoso, mi mise in guardia, dicendomi: “Attenzione: essere troppo bravi è pericoloso!”.   Con il tempo mi resi conto della saggezza di questo consiglio. Una volta diplomato, infatti, mi fu proposto un lavoro di spazzino, che rifiutai. Partecipai a diversi concorsi, ma ebbi solo l’occasione di svolgere una supplenza di Scenotecnica all’Accademia di Belle Arti di Urbino.  Pertanto mi adattai, inizialmente, a fare il maestro elementare presso scuole di campagna.  Infatti successe che, per terminare questa tesi, venni “bocciato” al quarto anno, dato che, all’ epoca, l’Accademia di Belle Arti funzionava come una scuola superiore e non esisteva il “fuori corso”. Non solo, ritenendo che fosse bastata la frequenza dell’anno precedente, rischiai di essere estromesso definitivamente dall’Accademia per troppe assenze.  Per di più, se non fossi riuscito a giustificare le assenze, non avrei più potuto iscrivermi  ancora all’Accademia di Bologna perché, come succede alle scuole medie, non era possibile farsi bocciare nello stesso istituto per più di due volte consecutive.  Infine, a causa di questo ritardo, non potei partecipare al concorso a cattedre per le scuole superiori, che uscì quell’anno. Riuscii soltanto a partecipare ad un concorso per assistenti di Scenografia a Bari, dove fui inserito in graduatoria.  Tale graduatoria fu poi curiosamente annullata da un successivo analogo concorso, dove la nuova graduatoria fu invece mantenuta aperta per tempo indeterminato. Non furono da allora più svolti concorsi per esami.

 

Indice degli argomenti:

Parte prima

LA PROSPETTIVA NELLE CODIFICAZIONI GEOMETRICHE

INTUIZIONE E GEOMETRIA NELLA COSTRUZIONE DELLO SPAZIO FIGURATIVO

LA TEORIA DELLA PROSPETTIVA

GENERALIZZAZIONE DEL CONCETTO DI PROSPETTIVA

LA COSTRUZIONE LINEARE: DEFINIZIONE E RIFERIMENTI

LE PROIEZIONI PARALLELE: PROIEZIONI ORTOGONALI E ASSONOMETRIA

IL CAMPO VISUALE NELLA PROSPETTIVA LINEARE

LA COSTRUZIONE CILINDRICA: DEFINIZIONE E RIFERIMENTI

IL CAMPO VISUALE NELLA PROSPETTIVA CILINDRICA

RAPPRESENTAZIONI PIANE DELLA COSTRUZIONE CILINDRICA

LA COSTRUZIONE CONICA: DEFINIZIONI

IL CAMPO VISIVO DELLA PROSPETTIVA CONICA

RAPPRESENTAZIONI PIANE DELLA PROSPETTIVA

LA COSTRUZIONE SFERICA: DEFINIZIONI

IL CAMPO VISIVO DELLA PROSPETTIVA SFERICA

PROIEZIONI SUL PIANO DELLA COSTRUZIONE SFERICA

LA PROIEZIONE SFERICA ORTOGRAFICA 51 PROIEZIONI SFERICHE ESTERNE

LA PROIEZIONE SFERICA STEREOGRAFICA

PROIEZIONI SFERICHE INTERNE

ULTERIORI METODI DI RAPPRESENTAZIONE PIANA DELLA SFERA

NATURALITÀ DELLA PROSPETTIVA

Parte seconda

METODI DESCRITTIVI E COSTRUZIONI

LA RAPPRESENTAZIONE FOCALE DELLO SPAZIO CARTESIANO

LA COSTRUZIONE LINEARE

LE PROIEZIONI ASSONOMETRICHE

LA PROSPETTIVA LINEARE PROPRIA

LA TEORIA DELLE OMBRE NELLA PROSPETTIVA LINEARE

L’ANAMORFOSI LINEARE

L’ASPETTO ILLUSIONISTICO DELLA PROSPETTIVA LINEARE

LA PROSPETTICA CILINDRICA

LA PROSPETTICA CONICA

LA PROSPETTIVA SFERICA

PROIEZIONI SUL PIANO DELLA PROSPETTIVA SFERICA

LA PROSPETTIVA SFERICA ORTOGRAFICA

LA PROSPETTIVA SFERICA STEREOGRAFICA

LA PROIEZIONE SFERICA A DISTANZA RAVVICINATA

Parte terza

PROIEZIONI E SPAZI PLURIDIMENSIONALI

PROSPETTIVE SOLIDE PIANE E DEFORMATE

SCENOGRAFIE COSTRUITE CON LA PROSPETTIVA CURVA

PROIEZIONI DALL’IPERSPAZIO

IL CAMPO TOPOLOGICO

Parte quarta

PROSPETTIVE E CALCOLATORI ELETTRONICI

PROSPETTIVE E GEOMETRIA ANALITICA

LA PROSPETTIVA LINEARE

LA PROSPETTIVA CILINDRICA

LA PROSPETTIVA CONICA

LA PROSPETTIVA SFERICA

Parte quinta

FORMULARIO PER COSTRUIRE PROSPETTIVE

PROSPETTIVE BIDIMENSIONALI

TEOREMA FONDAMENTALE SULLA PROSPETTIVA STEREOGRAFICA

OMOLOGIE TRIDIMENSIONALI

CONTRAZIONI SPAZIALI

PROSPETTIVE TRIDIMENSIONALI SU PIANO SFEROIDALE

PROSPETTIVE RESTITUITE

PROSPETTIVE 3D SVILUPPATE